假设某种植物的高度(白矮星大约有多大？ 《张朝阳的物理课》计算白矮星的半径)

白矮星能仅靠简并压力来抵抗引力压力吗？如何计算白矮星的半径？第169集《张朝阳的物理课》于9月1日中午12点播出。张朝阳，搜狐创始人、总裁兼首席执行官。物理学博士坐在搜狐视频直播间，首先为网友们检查了星球内部的静态流体。然后使用平衡方程的推导来估计白矮星中心的压力。他们将该压力与电子简并压力进行比较，得出了处于稳定平衡状态的白矮星的镭公式。

张朝阳还举例说明了电子简并压力无法承受重力压缩的情况，导致恒星最终演化为中子星或黑洞。最后，张朝阳分析认为，太阳质量的白矮星的电子所占据的空间远大于原子核的大小，从而证实了太阳质量的白矮星确实可以稳定存在。

推导行星的流体静力平衡方程并估计白矮星的中心压力。

为了分析白矮星的压力，张朝阳介绍了之前直播中解释过的静水平衡方程。行星的静水平衡方程描述了平衡条件下行星的内部压力如何随半径变化。为了得到这个方程，你可以在行星内部取一个径向圆柱单元。我们假设其底面积为 dS，高度为 dr，元素到行星中心的距离为 r。在径向方向上，微元件上作用有三个力：行星内部材料对微元件的引力和微元件上下表面的压力。您还应该知道，均匀的球壳对内部没有引力影响，因此无需考虑大于 r 的物质单位距中心的引力。

假设微元件上下表面的压力为(P+dP)，下下表面的压力为P。若以沿径向向外的方向为正侧，则平衡条件为它满足以上三个力是

其中ρ(r)是距中心距离r处的密度，M(r)是距中心小于r的物质的重量。上式可以简化为

所以

这就是行星的流体静力平衡方程。如果行星内部物质提供的压力小于该方程给出的压力，那么行星将被重力进一步压缩；如果内部材料提供的压力大于该方程给出的压力，那么行星将抵抗重力的压缩并向外移动。肿起来。如果行星最终达到平衡，内部压力分布应符合上述公式。但需要强调的是，上述方程没有考虑广义相对论的修正，因此不适用于中子星等引力极强的天体。对于白矮星，上述方程有效。

（张朝阳推导出流体静力平衡方程）在行星表面，由于没有外力推动行星表面物质，因此表面压力为P(R)=0，其中R是白矮星的半径。当半径 r 接近零时，材料密度 ρ(r) 接近中心白矮星密度 ρ(0)，这是最终值。另一方面，当 r 趋于零时，我们有

这就是它存在的原因

这说明白矮星中心的压力分布梯度等于0，但也可以知道中心的压力具有有限值P(0)。因此，随着半径r从0变化到R，压力在短时间内从最终值P(0)缓慢下降，然后相对较快地下降到0。然后估计半径r处压力随半径的变化率= R/2。假设白矮星中心的压力为Pc，则有

另一方面，根据流体静力平衡方程，我们有

由于球体的体积与半径的立方成正比，因此如果白矮星密度均匀，则 M(R/2) 将等于 M/8。然而，由于行星的密度一般不均匀，而是内高外低，所以M(R/2)往往大于M/8。这里，张朝阳将M(R/2)评为M/3。则ρ(R/2)约等于行星的平均密度，因此可得

根据前面的结果，我们可以得到

可以实现简化

这是对白矮星中心压力的估计。

（张朝阳估算白矮星的中心压力）

分析白矮星中心的电子简并压力并求出白矮星的半径。

在之前的物理直播课上，张朝阳推导了电子气在近零温度下的简并压力

其中，n为电子数密度，m_e为电子质量。

如果我们假设白矮星中心的电子数密度是平均电子数密度的α倍，并忽略白矮星中的非氢原子核，则白矮星中的电子数大约等于质子的质量，因此总质量可以除以质子的质量再除以 mp 数。因此，电子数密度位于白矮星的中心

将其代入电子气简并压力公式，得出中心的电子简并压力为

还因为

F

假设满足流体静力平衡时的中心压力为 Pg。根据之前的估计，我们有

当质量M固定时，Pg、Pd随半径R的变化如下图所示：

可以看出，Pg和Pd都随着半径R的增大而减小，但Pd减小得更快。在曲线Pg和Pd之间存在对应于半径R0的交点。也就是说，当RPg时，中心的电子简并压力大于维持静水平衡所需的中心压力，因此白矮星会被电子简并压力向外推，R会变大;当R>R0，Pd

所以

这是对白矮星半径的估计。

分析太阳质量白矮星的位置

从之前对白矮星半径的估计表达式我们可以知道，白矮星的质量越大，其半径就越小。当M达到一定程度时，无论白矮星被压缩得多么小，其中的电子气都无法提供足够的简并压力来抵抗重力的压缩（此时，根据相对论的简并电子压力公式必须用来分析），最终白矮星会被重力不断压缩，直到每个电子占据的空间很小。电子将与质子反应变成中子。最终，白矮星将成为中子星，并取决于中子简并压力。它与重力达到平衡（如果初始质量很大，中子简并压力无法抵抗重力，就会变成黑洞）。白矮星质量的上限约为 1.44 个太阳质量，最初由钱德拉塞卡计算。

由于钱德拉塞卡极限为1.44个太阳质量，太阳质量的白矮星可以稳定存在。张朝阳用实际计算来分析太阳质量情况。

如果我们假设白矮星中心的电子数密度是平均电子数密度的两倍，则α = 2，所以

此处β单位缩写。您只需要知道上面公式中的所有单位都使用国际单位制的基本单位。没有像 k 和 m 这样的前缀来表示尺寸（kg 除外，因为千克本身是基本单位，所以克是出口单位）。

因此，白矮星的太阳质量半径约为

这个估计与实际结果比较接近，所以之前的估计是合理的。

太阳质量白矮星的平均电子数密度约为

因此，一个电子占据的空间尺度约为

原子核的尺度为fm量级，因此单个电子所占据的空间远大于原子核的尺寸，因此电子撞击核子的概率很小，因此一个电子撞击核子的概率很小。与质子反应变成中子（并释放中微子）。这几乎可以忽略不计。从这个角度来看，太阳质量的白矮星是稳定的。

（张朝阳计算太阳质量白矮星的位置）

据了解，《张朝阳的物理课》将于每周五、周日中午12点在搜狐视频直播。网友可在搜狐视频APP“关注直播”中搜索“张朝阳”观看直播及往期完整视频回放；关注张朝阳“物理课程”账号，查看课程中的“知识点”短视频；另外，您还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号中阅读各物理课程的详细文章。